先看极限定义：

上图中的去心邻域概念，表示x可以向x0无限接近：

(资料图片)

但却永远不能和x0重合。为什么要设定一个这样的规定呢？

从导数的定义可以看到，如果deltax可以等于0的话，那么导数在x0点的定义是没有意义的。

上图表明，无限多个都无法用数字表示的无穷小之和其结果可能是一个确定的数字，但无穷多个0之和肯定是0。

上图表示，正是由于x在无限趋近于0的过程中永远不会和0重合，才使得上式是有意义的：保证了1/x的分母永远不会等于0。

以上是定积分的推导过程，从过程中可以看到，定积分最后是无穷多个无穷小之和，从而使得定积分的结果是一个确定的值。正是由于deltax可以是无穷小，但却不会等于0的假设，才使得定积分的理论得以成立。如果delta x可以等于0，则上述理论不成立。

那么，如何能够比较准确地把握

这个概念呢？

我们假设上图中的x正处于无限趋近于0的过程中，0与x之间的距离就是delta x。x可以靠近到0什么程度呢？我们知道，数轴上任意两点之间都可以插入无穷多个有理数或者无理数点，这是一个无限的动态的过程，但为了理解极限，我们假定这个无限过程终结了（宇宙爆炸了），这个时候a是最靠近0的那个点，而x此时正处于点0和点a之间，由于a点是最靠近0的那个点，意味着0和a之间的这段区域无法用任何数字表示（数轴上的每个点对应一个数字），从而0和x之间的距离也无法用任何数字表示，也就是比任何数字都小，也就是所谓的无穷小。但即使是无穷小，点x也不会和点0重合，而是始终保证点0和点x之间是一段区域，而不是一个点，也就是保证

的长度永远都不会等于0，同时这个delta x就是用来表示一个无法用任何数字表示的无穷小的符号。正是这样的假设，使得图1和图2中的导数与积分的理论得以建立，并使得导数能够精确求出曲线上每一个点的斜率，也使得定积分能够精确求出曲边梯形的面积。而如果delta x可以等于0，以上所有理论的大厦将立刻坍塌。

由于数学上的点没有大小，所有直线也没有大小。既然没有大小，我们凡人是看不到的，只有数学家能看到。而且任何一条直线上的点都处于无限增加的过程之中（数轴上任意两点之间都可以插入无穷多个有理数或者无理数点），这样的直线得有多奇怪？

就是在这样没有大小又看不见、而且它上面的点一直处于无限增加的一条直线上面，数学家建立了极限、导数和积分的理论，使得我们精确解决了无数的现实问题。

以上是参与极限理论创立的几位伟大科学家，他们值不值得我们顶礼膜拜？^O^

综上：

1：

是一段区域，不是一个点，即使其长度已经无法用任何数字表示，也永远不等于0。

2：由于它不等于0，从而使得以它为分母的导数理论得以建立。

3：还是由于它不会等于0，使得定积分的值变成了一个确定的数字。

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