其实很简单，只需要反光镜就可以了

(资料图)

只不过，需要的不是一面两面反光镜，而是一个由很多很多小反光镜组成的曲面

不难推断，这个曲面应该是一个旋转曲面——放到坐标系里就是关于两个坐标轴对称，所以为了简便，就可以在这个曲面上取一个截面去分析（打到这个截面上的光反射后也是平行光）。

我们把这个截面（一条曲线）放在坐标系里，并假设它的函数解析式是（肯定是个偶函数）。将点光源的位置设作原点。

假设点光源发出一道光，这道光的路径毫无疑问是直线，设它的解析式为（并取定k，x均大于0），与这条曲线的交点记为。现在这束光经反光镜反射，变成了一道平行于y轴的光。

但是还有一个问题：反光镜的位置和曲线有什么关系？

从图中可以看出，反光镜越多，组成的图形就越趋近于一条平滑曲线，而反光镜就是曲线的割线。当反光镜无限增多时，反光镜的长度趋于0，割线也趋近于切线。所以反光镜应该与曲线的切线相重合。

记曲线在该点处切线的斜率为。由反射定律，反射角等于入射角，那么记入射光线和切线之间夹角为，那么反射光线与切线夹角也为，也就是说，入射光线和竖直方向夹角为。

由斜率与和坐标轴夹角的关系，，即，又因为，所以，即。

又因为，所以就得到一个关于的微分方程，下面尝试去解这个方程。

变形之后，就会发现这是一个关于y的导数的一元二次方程。解出来，这里应该舍去负根，因为由图可知，在我们讨论的范围内，y的导数是大于0的。

观察这个方程，我们发现，y和x其实在这里只有一种组合形式——，那么为什么不干脆把它设成一个中间变量u呢，这样不仅形式简洁，也更好计算（其实这就是齐次微分方程的处理方法）。

如果我们设，那么就有，对方程进行变形，就得到，这样就变成了可分离变量的一阶微分方程，那么对两端求不定积分，得：。记u=tans，那么左式就变成了，又等于，记积分变量为r，那么原式就等于，所以，当然还不能忘记常数，所以，。又因为，所以左式变形为，因为，所以，所以原式等于，所以，又因为y=ux，所以。

所以该曲线是一条抛物线，原点为这条抛物线的焦点。

所以我们要求的曲面就是一个回转抛物面。

关键词